Что называется корнем уравнения?

Корнем уравнения называют такое значение переменной (или набор значений для нескольких переменных), при подстановке которого левая и правая части уравнения становятся равными — то есть равенство превращается в истинное высказывание.

Ключевые моменты:

• Корни всегда рассматривают в заданной области допустимых значений (ОДЗ): ограничения задаются условиями задачи, знаменателями ≠ 0, подкоренными выражениями ≥ 0 и т. п.

• Для уравнения с одной переменной корень — это число $x=a$, при котором равенство верно. Для уравнения с несколькими переменными корень — это набор $(x_1,\dots,x_n)$, делающий равенство истинным.

• Множество всех корней называется множеством решений уравнения; оно может быть пустым, конечным, бесконечным, или состоять из единственного элемента.

• При преобразованиях уравнений могут появляться посторонние (ложные) корни; их всегда проверяют подстановкой в исходное уравнение.

• Различают точные и приближённые корни: приближённый корень делает левую и правую части «почти» равными с заданной точностью.

Примеры:

1. $2x-5=9$. Подставим $x=7$: $2\cdot7-5=14-5=9$ — верно, значит $x=7$ — корень.

2. $\frac{1}{x-3}=2$. Решение даёт $x-3=\tfrac{1}{2}\Rightarrow x=3{,}5$, но $x\neq3$ — это ОДЗ. Подстановка $x=3{,}5$: $\frac{1}{0{,}5}=2$ — верно, значит корень $x=3{,}5$.

3. $\sqrt{x}=x-2$. Возможные $x\ge0$. Возводим в квадрат: $x=(x-2)^2\Rightarrow x=x^2-4x+4\Rightarrow x^2-5x+4=0\Rightarrow x=1$ или $x=4$. Проверка: $\sqrt{1}=1-2$ — неверно, 1 — посторонний; $\sqrt{4}=4-2$ — верно, корень $x=4$.

Итого: корень уравнения — это любое допустимое значение переменной, при котором исходное равенство истинно.