Решите уравнение: 3sin²2x + 10sin2x + 3 = 0

Для того чтобы решить уравнение $3\sin^2(2x) + 10\sin(2x) + 3 = 0$, начнём с замены переменной. Пусть $y = \sin(2x)$. Тогда уравнение преобразуется в квадратное:

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта выглядит так:

Где $a = 3$, $b = 10$, $c = 3$. Подставим эти значения:

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Находим их по формуле:

Подставляем значения:

Таким образом, получаем два корня:

1. $y_1 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

2. $y_2 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

Теперь возвращаемся к переменной $\sin(2x)$, подставив полученные значения:

1. $\sin(2x) = -\frac{1}{3}$

2. $\sin(2x) = -3$

Но $\sin(2x) = -3$ не имеет решения, так как синус не может быть меньше -1. Таким образом, исключаем второй корень.

Теперь решаем $\sin(2x) = -\frac{1}{3}$. Это уравнение имеет два решения на интервале от 0 до $2\pi$:

Рассчитаем арксинус:

Теперь делим обе части этих равенств на 2, чтобы найти $x$:

1. $x_1 = \frac{-0.3398}{2} \approx -0.1699$

2. $x_2 = \frac{3.4814}{2} \approx 1.7407$

Так как синус имеет период $2\pi$, общее решение будет:

Таким образом, решения уравнения: