Решите неравенство x(x+1)(x-7) ≤ 0

Для того чтобы решить неравенство $x(x+1)(x-7) \leq 0$, давайте сначала разберемся с его выражением.

Шаг 1: Найдем нули выражения

Для начала найдем значения $x$, при которых произведение $x(x+1)(x-7) = 0$. Это будет происходить, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

• $x = 0$

• $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

• $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$

Таким образом, нули выражения — это $x = 0$, $x = -1$ и $x = 7$.

Шаг 2: Определим знаки произведения

Теперь разделим числовую прямую на интервалы, используя найденные нули: $(- \infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, 7)$, $(7, +\infty)$.

На каждом из этих интервалов произведение $x(x+1)(x-7)$ будет менять знак. Чтобы понять, на каких интервалах оно меньше либо равно нулю, подставим тестовые значения из каждого интервала.

1. Интервал $(- \infty, -1)$:

   • Пусть $x = -2$.

   • $x(x+1)(x-7) = (-2)(-1)(-9) = -18$, что меньше нуля.

   • На интервале $(- \infty, -1)$ произведение отрицательно.

2. Интервал $(-1, 0)$:

   • Пусть $x = -0.5$.

   • $x(x+1)(x-7) = (-0.5)(0.5)(-7.5) = 1.875$, что больше нуля.

   • На интервале $(-1, 0)$ произведение положительно.

3. Интервал $(0, 7)$:

   • Пусть $x = 1$.

   • $x(x+1)(x-7) = (1)(2)(-6) = -12$, что меньше нуля.

   • На интервале $(0, 7)$ произведение отрицательно.

4. Интервал $(7, +\infty)$:

   • Пусть $x = 8$.

   • $x(x+1)(x-7) = (8)(9)(1) = 72$, что больше нуля.

   • На интервале $(7, +\infty)$ произведение положительно.

Шаг 3: Найдем, на каких интервалах выражение меньше или равно нулю

Теперь мы видим, что произведение $x(x+1)(x-7)$ меньше или равно нулю на интервалах:

• $(- \infty, -1]$ (включая $-1$, так как при $x = -1$ выражение равно нулю),

• $[0, 7]$ (включая $0$ и $7$, так как при $x = 0$ и $x = 7$ выражение также равно нулю).

Ответ

Решением неравенства $x(x+1)(x-7) \leq 0$ является: