Решите неравенство x²−4x+3≥0

Для решения неравенства $x^2 - 4x + 3 \geq 0$ сначала решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$.

1. Найдем корни квадратного уравнения с помощью формулы для корней:

Таким образом, получаем два корня:

Теперь, имеем уравнение $(x - 1)(x - 3) = 0$, что означает, что корни уравнения — это $x = 1$ и $x = 3$.

2. Анализируем знак выражения $x^2 - 4x + 3$ в разных интервалах, определённых корнями $x = 1$ и $x = 3$:

   • Для $x < 1$ (например, $x = 0$): подставляем $x = 0$ в выражение:

     $$0^2 - 4(0) + 3 = 3 > 0$$

     Это означает, что на интервале $(-\infty, 1)$ выражение положительно.

   • Для $1 < x < 3$ (например, $x = 2$): подставляем $x = 2$ в выражение:

     $$2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 < 0$$

     Это означает, что на интервале $(1, 3)$ выражение отрицательно.

   • Для $x > 3$ (например, $x = 4$): подставляем $x = 4$ в выражение:

     $$4^2 - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3 > 0$$

     Это означает, что на интервале $(3, \infty)$ выражение положительно.

3. Интервал, на котором выражение $x^2 - 4x + 3$ больше или равно нулю:
   Выражение положительно или равно нулю на интервалах $(-\infty, 1]$ и $[3, \infty)$. На этих интервалах оно удовлетворяет неравенству $x^2 - 4x + 3 \geq 0$.

Таким образом, решение неравенства $x^2 - 4x + 3 \geq 0$ — это объединение интервалов $(-\infty, 1]$ и $[3, \infty)$, или в виде записи: