Задумано число, сумма цифр которого в 2 раза меньше самого числа. Какое число задумано?

Пусть задумано натуральное число $N$.
По условию его сумма цифр в 2 раза меньше самого числа, то есть:

Нужно найти такое $N$.

1. Оценим количество цифр

Пусть у числа $N$ — $k$ цифр.

• Минимальное $k$-значное число: $10^{k-1}$.

• Максимальная сумма цифр $k$-значного числа: $9k$ (если все цифры — 9).

По условию:

Но при этом $N \ge 10^{k-1}$. Значит:

Проверим, при каких $k$ это вообще возможно:

• Для $k = 1$:
  $10^{0} = 1 \le N \le 18 \cdot 1 = 18$ — возможно, однозначные числа подходят по оценке.

• Для $k = 2$:
  $10^{1} = 10 \le N \le 18 \cdot 2 = 36$ — тоже возможно, двузначные подходят по оценке.

• Для $k = 3$:
  $10^{2} = 100 \le N \le 18 \cdot 3 = 54$ — уже противоречие: $100 \le N \le 54$ невозможно.

• Для $k \ge 3$ тем более $10^{k-1}$ будет ещё больше, а $18k$ растёт медленно, так что решений нет.

Значит, число может быть только однозначным или двузначным.

2. Однозначные числа

Пусть $N$ — однозначное, то есть $N = a$, где $a$ — цифра от 1 до 9.
Сумма цифр такого числа равна самому числу: $\text{сумма цифр} = a$.

Тогда по условию:

Но 0 — не однозначное натуральное число в обычном понимании задачи «задумано число» (обычно имеют в виду положительное целое). Поэтому среди натуральных однозначных чисел решения нет.

3. Двузначные числа

Пусть $N$ — двузначное число, запишем его как:

где $a$ — первая цифра (от 1 до 9), $b$ — вторая цифра (от 0 до 9).

Сумма цифр:

По условию:

Раскроем скобки:

Перенесём всё в одну сторону:

Теперь учтём, что $b$ — цифра от 0 до 9.

• $b = 8a$,

• $a$ — от 1 до 9.

Подберём возможные $a$:

• Если $a = 1$, то $b = 8 \cdot 1 = 8$ — подходит, $b = 8$ (цифра).

• Если $a = 2$, то $b = 16$ — не цифра.

• При большем $a$ ($3, 4, \dots$) $b$ будет ещё больше 9, а значит не может быть цифрой.

Поэтому единственная пара $(a, b)$, которая подходит:

Число:

Проверим условие:

• сумма цифр: $1 + 8 = 9$;

• само число: $18$.

И действительно:

то есть сумма цифр в 2 раза меньше числа.

Ответ: задумано число 18.