Какое наименьшее количество последовательных чисел надо написать на доске, чтобы среди них обязательно нашлись два числа, разность которых делится на 10?

Для того чтобы среди последовательных чисел нашлись два числа, разность которых делится на 10, достаточно рассмотреть остатки этих чисел при делении на 10. Если два числа имеют одинаковый остаток при делении на 10, то разность этих чисел будет делиться на 10.

Таким образом, задача сводится к нахождению минимального количества чисел, среди которых обязательно найдутся два числа с одинаковым остатком при делении на 10.

Числа при делении на 10 могут давать остатки от 0 до 9, то есть всего существует 10 различных остатков. Если мы напишем на доске 11 чисел, то по принципу Дирихле, среди этих чисел обязательно найдутся два, которые имеют одинаковый остаток при делении на 10. Разность таких чисел будет делиться на 10.

Ответ: наименьшее количество последовательных чисел, которое нужно записать на доске, чтобы среди них обязательно нашлись два числа, разность которых делится на 10 — это 11 чисел.