Найдите промежутки возрастания функции y = -x³ + 2x².

Для нахождения промежутков возрастания функции $y = -x^3 + 2x^2$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции.

Производная функции $y = -x^3 + 2x^2$ по $x$ будет:

2. Найдем критические точки.

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

Вынесем $x$ за скобки:

Таким образом, $x = 0$ или $-3x + 4 = 0$, что даёт $x = \frac{4}{3}$.

Итак, критические точки — это $x = 0$ и $x = \frac{4}{3}$.

3. Определим знак производной на промежутках.

Теперь рассмотрим знаки производной на интервалах, которые делятся этими точками: $(-\infty, 0)$, $(0, \frac{4}{3})$, и $(\frac{4}{3}, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, 0)$ возьмем точку, например $x = -1$. Подставляем в производную:

  $$y' = -3(-1)^2 + 4(-1) = -3 - 4 = -7$$

  Знак производной отрицательный, значит, функция убывает на этом интервале.

• На интервале $(0, \frac{4}{3})$ возьмем точку, например $x = 1$. Подставляем в производную:

  $$y' = -3(1)^2 + 4(1) = -3 + 4 = 1$$

  Знак производной положительный, значит, функция возрастает на этом интервале.

• На интервале $(\frac{4}{3}, +\infty)$ возьмем точку, например $x = 2$. Подставляем в производную:

  $$y' = -3(2)^2 + 4(2) = -12 + 8 = -4$$

  Знак производной отрицательный, значит, функция убывает на этом интервале.

4. Ответ.

Функция возрастает на промежутке $(0, \frac{4}{3})$.