Периметр прямоугольного треугольника равен 84, а его гипотенуза равна 37. Найти площадь. Составить систему.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника через $x$ и $y$, гипотенуза равна 37.

1. Составим систему уравнений

1. Периметр треугольника:

2. По теореме Пифагора:

Система:

Нужно найти площадь:

2. Решение системы

Есть два стандартных способа. Покажу оба, но можно использовать любой.

Способ 1: через сумму и произведение

Известно:

Вспомним формулу:

Подставляем наши значения:

Посчитаем $47^2$:

Тогда:

Отсюда:

Площадь треугольника:

Способ 2: подстановка и квадратное уравнение

Из первого уравнения:

Подставляем в теорему Пифагора:

Раскроем скобки:

Тогда:

Собираем:

Делим на 2:

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант:

Тогда:

1. $\displaystyle y_1 = \dfrac{47 + 23}{2} = \dfrac{70}{2} = 35$,

2. $\displaystyle y_2 = \dfrac{47 - 23}{2} = \dfrac{24}{2} = 12$.

Соответственно:

• если $y = 35$, то $x = 47 - 35 = 12$;

• если $y = 12$