Ниже — несколько типовых задач на НОД и НОК с подробными решениями.

Задача 1 (НОД, «плитка»)

Условие. Есть три прямоугольных дорожки длиной 84 см, 126 см и 210 см. Их хотят выложить квадратной плиткой наибольшего возможного размера так, чтобы каждая дорожка была кратна стороне плитки. Какова сторона плитки?

Решение. Ищем НОД(84, 126, 210).

• Разложим на простые множители:

  • 84 = 2·2·3·7 = $2^2·3·7$

  • 126 = 2·3·3·7 = $2·3^2·7$

  • 210 = 2·3·5·7

• Берём общие простые с минимальными степенями: 2·3·7 = 42.
  Значит, максимальная сторона квадратной плитки — 42 см.

Задача 2 (НОД, «наборы конфет»)

Условие. Есть 72 карамели и 90 шоколадных конфет. Нужно собрать одинаковые подарочные наборы, чтобы все конфеты разобрать и в каждом наборе было одинаковое количество каждой конфеты. Какое максимальное число наборов можно сделать и сколько каких конфет будет в каждом?

Решение. Число наборов = НОД(72, 90).

• 72 = $2^3·3^2$

• 90 = $2·3^2·5$

• НОД = $2^1·3^2 = 18$

Максимум 18 наборов. В каждом:

• карамелей: 72 / 18 = 4

• шоколадных: 90 / 18 = 5

Ответ: 18 наборов по 4 карамели и 5 шоколадных.

Задача 3 (НОК, «автобусы»)

Условие. Автобус А приходит на остановку каждые 12 минут, автобус B — каждые 18 минут. Сейчас оба пришли одновременно. Через сколько минут они снова придут вместе?

Решение. Нужно НОК(12, 18).

• 12 = $2^2·3$

• 18 = $2·3^2$

• НОК = $2^2·3^2 = 4·9 = 36$

Ответ: через 36 минут.

Задача 4 (НОК, «мигающая лампа и сирена»)

Условие. Лампа мигает каждые 20 секунд, сирена срабатывает каждые 30 секунд. Они сработали одновременно. Когда это повторится?

Решение. НОК(20, 30).

• 20 = $2^2·5$

• 30 = $2·3·5$

• НОК = $2^2·3·5 = 60$

Ответ: через 60 секунд.

Задача 5 (НОД, «резка лент»)

Условие. Есть ленты длиной 60 м, 84 м и 96 м. Нужно порезать их на одинаковые куски наибольшей возможной длины без остатка. Какой будет длина куска и сколько кусков получится из каждой ленты?

Решение. Длина куска = НОД(60, 84, 96).

• 60 = $2^2·3·5$

• 84 = $2^2·3·7$

• 96 = $2^5·3$

• НОД = $2^2·3 = 4·3 = 12$ м

Кусков:

• из 60 м: 60 / 12 = 5

• из 84 м: 84 / 12 = 7

• из 96 м: 96 / 12 = 8

Ответ: длина 12 м; 5, 7 и 8 кусков соответственно.

Задача 6 (НОК, «планёрки трёх отделов»)

Условие. В трёх отделах планёрки проходят каждые 6, 8 и 10 дней. Сегодня (день 0) они совпали. Через сколько дней снова все три планёрки совпадут?

Решение. НОК(6, 8, 10).

• 6 = $2·3$

• 8 = $2^3$

• 10 = $2·5$

• НОК = $2^3·3·5 = 8·3·5 = 120$

Ответ: через 120 дней.

Короткий чек-лист, когда НОД, а когда НОК

• НОД (наибольший общий делитель) — когда делим на равные части максимально большого размера (плитка, длина куска, число одинаковых наборов).

• НОК (наименьшее общее кратное) — когда ищем первое совместное повторение периодических событий (расписания, циклы).