Если открыть одновременно две трубы, то бассейн будет наполнен за 8 часов. Если сначала первая труба наполнит половину бассейна, а затем вторая труба – вторую его половину, то весь бассейн будет наполнен за 18 часов. За какое время может наполнить этот бассейн каждая труба, работая отдельно?

Для того чтобы решить эту задачу, представим, что первая труба наполняет бассейн за $t_1$ часов, а вторая — за $t_2$ часов.

1. Первое условие: если обе трубы работают одновременно, то бассейн наполняется за 8 часов. Это означает, что их совместная производительность равна $\frac{1}{8}$ бассейна в час. То есть:

   $$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{8}$$

2. Второе условие: если сначала первая труба наполняет половину бассейна, а затем вторая труба — вторую его половину, то весь бассейн будет наполнен за 18 часов. Первая труба наполняет половину бассейна за $\frac{1}{2} \times t_1$ часов, а вторая — вторую половину за $\frac{1}{2} \times t_2$ часов. Суммарное время этих двух этапов равно 18 часам, то есть:

   $$\frac{t_1}{2} + \frac{t_2}{2} = 18$$

   Упростим это:

   $$\frac{t_1 + t_2}{2} = 18$$ $$t_1 + t_2 = 36$$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{8}$

2. $t_1 + t_2 = 36$

Из второго уравнения выразим $t_2$:

Подставим это выражение во второе уравнение:

Теперь решим это уравнение. Умножим его обе стороны на $t_1(36 - t_1)$, чтобы избавиться от знаменателей:

Умножим обе стороны на 8:

Раскроем скобки:

Переносим все в одну сторону:

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы: