Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет более двух решений: \[ \begin{cases} x^2 + 2x + y^2 + 4y = 4|2x - y| \\ x + 2y = a \end{cases} \]

Для того чтобы решить систему уравнений и найти все значения $a$, при которых система имеет более двух решений, начнем с анализа каждой части системы:

1. Перепишем первое уравнение:

   $$x^2 + 2x + y^2 + 4y = 4|2x - y|.$$

   Упростим его:

   $$(x^2 + 2x) + (y^2 + 4y) = 4|2x - y|.$$

   Заметим, что $x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$ и $y^2 + 4y = (y+2)^2 - 4$. Таким образом, первое уравнение можно переписать как:

   $$(x+1)^2 - 1 + (y+2)^2 - 4 = 4|2x - y|.$$

   Упростим:

   $$(x+1)^2 + (y+2)^2 - 5 = 4|2x - y|.$$

   Это уравнение описывает взаимосвязь между $x$ и $y$ и зависит от знака выражения $2x - y$ из-за модуля.

2. Рассмотрим второе уравнение:

   $$x + 2y = a.$$

   Это уравнение представляет собой прямую в плоскости $xy$.

3. Рассмотрим два случая для модуля:

   • Случай 1: $2x - y \geq 0$, то есть $|2x - y| = 2x - y$:
     Уравнение становится:

     $$(x+1)^2 + (y+2)^2 - 5 = 4(2x - y).$$

     Раскроем скобки:

     $$(x+1)^2 + (y+2)^2 - 5 = 8x - 4y.$$

     После раскрытия скобок:

     $$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) - 5 = 8x - 4y.$$

     Упростим:

     $$x^2 + 2x + y^2 + 4y = 8x - 4y.$$

     Переносим все в одну сторону:

     $$x^2 + 2x + y^2 + 4y - 8x + 4y = 0,$$ $$x^2 - 6x + y^2 + 8y = 0.$$

     Это уравнение описывает окружность в координатах $x$ и $y$.

   • Случай 2: $2x - y < 0$, то есть $|2x - y| = -(2x - y)$:
     Уравнение будет:

     $$(x+1)^2 + (y+2)^2 - 5 = -4(2x - y).$$

     Раскроем скобки:

     $$(x+1)^2 + (y+2)^2 - 5 = -8x + 4y.$$

     После раскрытия:

     $$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) - 5 = -8x + 4y,$$ $$x^2 + 2x + y^2 + 4y = -8x + 4y.$$