Из натуральных чисел от 10 до 99 выбирают два различных случайных числа. Найдите вероятность события «разность выбранных чисел делится на 3».

Рассуждаю так. В промежутке 10–99 всего 90 чисел. По модулю 3 они разбиваются на три равные группы: с остатками 0, 1 и 2 — по 30 чисел в каждой (потому что 90 кратно 3).

Разность двух чисел делится на 3 тогда и только тогда, когда оба числа дают один и тот же остаток при делении на 3. Значит, благоприятные пары — это пары, целиком взятые из одной из трёх групп.

Число благоприятных неупорядоченных пар:

Общее число неупорядоченных пар:

Искомая вероятность:

(Эквивалентная быстрая мысль: выбрали первое число; из оставшихся 89 чисел ровно 29 имеют тот же остаток по модулю 3, значит вероятность для второго — $29/89$.)

Ответ: $\displaystyle \frac{29}{89}$.