Доказать что треугольник АВС-равнобедренный, если А(3,-1,2) В(0,-4,2) С(-3,2,1)

Чтобы доказать, что треугольник ABC равнобедренный, нужно показать, что две стороны этого треугольника имеют одинаковую длину. Для этого вычислим расстояния между каждой парой вершин треугольника и сравним их.

1. Вычислим расстояние между точками A(3, -1, 2) и B(0, -4, 2):

   Формула для вычисления расстояния между двумя точками $P(x_1, y_1, z_1)$ и $Q(x_2, y_2, z_2)$ в пространстве:

   $$d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

   Подставляем координаты точек A и B:

   $$d(A, B) = \sqrt{(0 - 3)^2 + (-4 - (-1))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

2. Вычислим расстояние между точками B(0, -4, 2) и C(-3, 2, 1):

   Подставляем координаты точек B и C:

   $$d(B, C) = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (2 - (-4))^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (6)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 36 + 1} = \sqrt{46}$$

3. Вычислим расстояние между точками A(3, -1, 2) и C(-3, 2, 1):

   Подставляем координаты точек A и C:

   $$d(A, C) = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (2 - (-1))^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{36 + 9 + 1} = \sqrt{46}$$

Теперь сравним расстояния:

• $d(A, B) = 3\sqrt{2}$

• $d(B, C) = \sqrt{46}$

• $d(A, C) = \sqrt{46}$

Мы видим, что $d(B, C) = d(A, C) = \sqrt{46}$, а значит, стороны BC и AC равны. Таким образом, треугольник ABC является равнобедренным, потому что две его стороны имеют одинаковую длину.