Решите уравнение:x3+3x2-25x-75=0

Для того чтобы решить уравнение $x^3 + 3x^2 - 25x - 75 = 0$, воспользуемся методом деления многочлена на линейный множитель и другими алгебраическими способами.

1. Предположим, что одно из корней уравнения является целым числом. Чтобы найти возможные целые корни, воспользуемся теоремой о целых корнях. Согласно этой теореме, возможные корни — это делители свободного члена ($-75$) и делители старшего коэффициента (в данном случае $1$ для $x^3$).

Таким образом, возможные целые корни — это делители числа $-75$: $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15, \pm 25, \pm 75$.

2. Пробуем подставить эти значения в уравнение:

   Проверим $x = -3$:

   $$(-3)^3 + 3(-3)^2 - 25(-3) - 75 = -27 + 27 + 75 - 75 = 0$$

   Мы видим, что $x = -3$ — это корень уравнения.

3. Теперь разделим исходный многочлен на $x + 3$, так как $x = -3$ является корнем уравнения. Для этого применим деление многочлена:

   $$\frac{x^3 + 3x^2 - 25x - 75}{x + 3}$$

   Делим по схеме долгого деления многочленов:

   1. $x^3$ делим на $x$, получаем $x^2$.

   2. Умножаем $x^2$ на $x + 3$, получаем $x^3 + 3x^2$.

   3. Вычитаем $x^3 + 3x^2$ из исходного многочлена, получаем $-25x - 75$.

   4. $-25x$ делим на $x$, получаем $-25$.

   5. Умножаем $-25$ на $x + 3$, получаем $-25x - 75$.

   6. Вычитаем $-25x - 75$ из $-25x - 75$, получаем 0.

   Таким образом, результат деления: $x^2 - 25$.

4. Теперь у нас есть квадратное уравнение:

   $$x^2 - 25 = 0$$

   Решим его:

   $$x^2 = 25$$ $$x = \pm 5$$

5. Ответ:

   Уравнение $x^3 + 3x^2 - 25x - 75 = 0$ имеет три корня: $x = -3, x = 5, x = -5$.