Основания трапеции равны 4 см и 8 см, высота — 9 см. Найдите расстояния от точки пересечения диагоналей до оснований трапеции.

Возьмём систему координат: меньшую основу $AB=4$ расположим на прямой $y=9$, большую $CD=8$ — на $y=0$. Пусть её концы $C(0,0)$ и $D(8,0)$, а верхняя основа $AB$ — от $x=t$ до $x=t+4$, то есть $A(t,9)$, $B(t+4,9)$ (смещение $t$ не важно).

Диагонали:

• $CB: (0,0)\to(t+4,9)$: $(x,y)=(s(t+4),\,9s)$,

• $DA: (8,0)\to(t,9)$: $(x,y)=(8+u(t-8),\,9u)$.

В точке пересечения $O$ координаты совпадают, значит $9s=9u\Rightarrow s=u$. Подставляем в $x$-координаты:

Следовательно, $y_O=9s=9\cdot\frac{2}{3}=6$.

Итак, расстояние от $O$ до нижней (большей) основы $CD$ равно $6$ см, а до верхней (меньшей) основы $AB$ — $9-6=3$ см.

Ответ: $6$ см и $3$ см (к большей и меньшей основаниям соответственно).