Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошёл 50 км по течению и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Какова скорость течения реки?

Для решения задачи обозначим скорость течения реки за $v$ км/ч. Собственная скорость теплохода составляет 18 км/ч.

1. Скорость теплохода по течению: Когда теплоход движется по течению, его скорость увеличивается на скорость течения, то есть $18 + v$ км/ч.

2. Скорость теплохода против течения: Когда теплоход движется против течения, его скорость уменьшается на скорость течения, то есть $18 - v$ км/ч.

Теплоход прошёл 50 км по течению и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Время, затраченное на преодоление пути, можно найти по формуле:

где $S$ — путь, а $V$ — скорость.

3. Время в пути по течению: Для пути в 50 км по течению время будет равно:

4. Время в пути против течения: Для пути в 8 км против течения время будет равно:

Суммарное время равно 3 часам:

Подставляем выражения для $t_1$ и $t_2$:

Теперь решим это уравнение:

1. Умножим обе части на $(18 + v)(18 - v)$, чтобы избавиться от знаменателей:

2. Раскроем скобки:

3. Подставим все в уравнение:

4. Упростим:

5. Переносим все на одну сторону:

6. Умножим уравнение на 1/3, чтобы упростить:

7. Это квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы дискриминанта:

8. Получаем два корня:

Из этих двух значений, $v = 12$ км/ч — это физически невозможный вариант, так как скорость против течения тогда будет меньше нуля. Поэтому правильное значение скорости течения реки — $v = 2$ км/ч.

Ответ: скорость течения реки составляет 2 км/ч.