Упростите выражение (3x^3y^4)^3 : (3xy^2)^2.

Для упрощения выражения $(3x^3y^4)^3 : (3xy^2)^2$, следуем пошагово:

1. Упростим первую часть $(3x^3y^4)^3$:

   Это выражение представляет собой степень произведения, так что мы можем применить правило степени произведения: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

   $$(3x^3y^4)^3 = 3^3 \cdot (x^3)^3 \cdot (y^4)^3$$

   Теперь упростим каждую часть:

   • $3^3 = 27$,

   • $(x^3)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9$,

   • $(y^4)^3 = y^{4 \cdot 3} = y^{12}$.

   Таким образом, получаем:

   $$(3x^3y^4)^3 = 27x^9y^{12}$$

2. Упростим вторую часть $(3xy^2)^2$:

   Аналогично, применяем правило степени произведения:

   $$(3xy^2)^2 = 3^2 \cdot x^2 \cdot (y^2)^2$$

   Упростим:

   • $3^2 = 9$,

   • $x^2 = x^2$,

   • $(y^2)^2 = y^{2 \cdot 2} = y^4$.

   Получаем:

   $$(3xy^2)^2 = 9x^2y^4$$

3. Теперь разделим выражения:

   У нас есть выражение:

   $$\frac{27x^9y^{12}}{9x^2y^4}$$

   Разделим числители и знаменатели:

   • Число: $\frac{27}{9} = 3$,

   • Для $x^9$ и $x^2$: $\frac{x^9}{x^2} = x^{9-2} = x^7$,

   • Для $y^{12}$ и $y^4$: $\frac{y^{12}}{y^4} = y^{12-4} = y^8$.

   Таким образом, получаем:

   $$3x^7y^8$$

Ответ: $3x^7y^8$.