найти наименьшее значение функции y = (x-2)^2 (x+4) + 2 на отрезке [-2; 5]

Ответы на вопрос

Отвечает Ярыгин Кирилл.

Нужно найти наименьшее значение функции

y=(x-2)^2(x+4)+2

на отрезке $[-2;5]$ . Для этого проверяют значения функции в критических точках (где производная равна нулю или не существует) и на концах отрезка.

Рассмотрим часть без “+2”:

f(x)=(x-2)^2(x+4)

Тогда

y=f(x)+2 \quad \Rightarrow \quad y'=f'(x)

Найдём $f'(x)$ по правилу произведения:

f'(x)=\big((x-2)^2\big)'(x+4) + (x-2)^2\cdot (x+4)'

\big((x-2)^2\big)'=2(x-2), \quad (x+4)'=1

Подставляем:

f'(x)=2(x-2)(x+4) + (x-2)^2

Вынесем $(x-2)$ за скобку:

f'(x)=(x-2)\big(2(x+4)+(x-2)\big)

Упростим скобки:

2(x+4)+(x-2)=2x+8+x-2=3x+6=3(x+2)

Получаем:

y'=f'(x)=3(x-2)(x+2)

y'=0 \Rightarrow 3(x-2)(x+2)=0

Отсюда:

x=2 \quad \text{или} \quad x=-2

Обе точки лежат на отрезке $[-2;5]$ . Причём $x=-2$ — это ещё и левый конец отрезка.

1) $x=-2$ :

y(-2)=(-2-2)^2(-2+4)+2=(-4)^2\cdot 2+2=16\cdot 2+2=34

2) $x=2$ :

y(2)=(2-2)^2(2+4)+2=0\cdot 6+2=2

3) $x=5$ :

y(5)=(5-2)^2(5+4)+2=3^2\cdot 9+2=9\cdot 9+2=81+2=83

Сравниваем полученные значения:

y(-2)=34,\quad y(2)=2,\quad y(5)=83

Наименьшее значение — $2$ , оно достигается при $x=2$ .

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-2;5]$ равно $2$ .

Последние заданные вопросы в категории Математика

Ответы на вопрос