Какая из данных функций является чётной, а какая -нечётной: а) y=2+x/x-4 б) y=x(x2-9) в) y=3кореньx2 - 2x4

Чтобы определить, чётная функция или нечётная, проверяют:

• чётная, если для всех $x$ из области определения выполняется $f(-x)=f(x)$;

• нечётная, если для всех $x$ из области определения выполняется $f(-x)=-f(x)$.
  Также важно: область определения должна быть симметрична относительно нуля (если $x$ допустим, то и $-x$ тоже), иначе функция не может быть ни чётной, ни нечётной.

a) $y = 2 + \dfrac{x}{x-4}$

1) Область определения: знаменатель не равен нулю, значит $x \ne 4$.
Область: $\mathbb{R}\setminus\{4\}$.

Она не симметрична относительно нуля: например, $x=4$ запрещён, но $-4$ разрешён. Уже этого достаточно, чтобы сказать: функция не является ни чётной, ни нечётной.

2) Проверка по формуле (для уверенности):
$f(x)=2+\dfrac{x}{x-4}$.

$f(-x)=2+\dfrac{-x}{-x-4}=2+\dfrac{-x}{-(x+4)}=2+\dfrac{x}{x+4}$.

Сравним:

• $f(-x)=2+\dfrac{x}{x+4}$ не равно $f(x)=2+\dfrac{x}{x-4}$;

• и $f(-x)$ не равно $-f(x)$.

Ответ: функция (a) ни чётная, ни нечётная.

б) $y = x(x^2-9)$

Сначала упростим:

Проверим:

Значит выполняется $f(-x)=-f(x)$.

Ответ: функция (б) нечётная.

в) $y = 3\sqrt{x^2} - 2x^4$

Важно: $\sqrt{x^2}=|x|$. Тогда

Проверим:

То есть $f(-x)=f(x)$.

Ответ: функция (в) чётная.

Итог

• а) ни чётная, ни нечётная;

• б) нечётная;

• в) чётная.