Что такое угловой коэффициент и что от него зависит?

Угловой коэффициент (обычно обозначают k) — это число, которое показывает наклон прямой на координатной плоскости. Проще говоря, он отвечает на вопрос: на сколько изменится $y$, если $x$ увеличить на 1.

1) Где он встречается и как выглядит

Чаще всего угловой коэффициент появляется в уравнении прямой вида:

• $k$ — угловой коэффициент (наклон),

• $b$ — свободный член (где прямая пересекает ось $y$).

2) Геометрический смысл

Угловой коэффициент показывает крутизну прямой:

• если идти по прямой вправо на 1 клетку (увеличить $x$ на 1),

• то $y$ изменится на $k$ клеток (увеличится или уменьшится).

Также угловой коэффициент связан с углом $\alpha$ между прямой и положительным направлением оси $x$:

То есть чем больше угол наклона вверх, тем больше $k$.

3) Как найти угловой коэффициент

По двум точкам $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$

Важно: если $x_2 = x_1$, то знаменатель ноль — это вертикальная прямая, у неё угловой коэффициент не определён.

По уравнению прямой

• Если уравнение уже в виде $y = kx + b$, то $k$ — это коэффициент при $x$.

• Если уравнение в общем виде $Ax + By + C = 0$, то при $B \neq 0$:

4) Что зависит от углового коэффициента

4.1) Направление прямой (растёт или убывает)

• $k > 0$: прямая идёт вверх вправо (функция возрастает).

• $k < 0$: прямая идёт вниз вправо (функция убывает).

• $k = 0$: прямая горизонтальная ( $y$ не меняется).

• не определён: прямая вертикальная ( $x$ постоянен).

4.2) Крутизна наклона

Чем больше по модулю $|k|$, тем прямая круче:

• $|k| = 1$ — наклон “по диагонали” под 45° (в клетчатой сетке).

• $|k| > 1$ — более круто.

• $0 < |k| < 1$ — более полого.

4.3) Угол наклона к оси $x$

Поскольку $k = \tan(\alpha)$, то:

• большой $k$ соответствует большему углу $\alpha$ (ближе к вертикали),

• $k = 0$ соответствует $\alpha = 0^\circ$ (горизонталь).

4.4) Параллельность и перпендикулярность прямых

• Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты:

  $$k_1 = k_2$$

  (если обе не вертикальные).

• Перпендикулярные прямые (не вертикальные/горизонтальные особые случаи) удовлетворяют:

  $$k_1 \cdot k_2 = -1$$

  То есть $k_2 = -\frac{1}{k_1}$.

4.5) Скорость изменения (в задачах из физики/экономики)

Угловой коэффициент часто означает темп изменения:

• если график зависимости “величина $y$ от времени $x$”, то $k$ может быть скоростью роста/убыли;

• в экономике — изменение прибыли/затрат при увеличении выпуска на 1 единицу;

• в общем смысле — “сколько $y$ на единицу $x$”.

5) Короткий пример для понимания

Допустим, $y = 3x + 2$. Тогда $k = 3$.

Это значит:

• если $x$ увеличится на 1, то $y$ увеличится на 3;

• прямая возрастает и довольно крутая.

Если $y = -0{,}5x + 1$, то $k = -0{,}5$:

• при увеличении $x$ на 1, $y$ уменьшается на 0,5;

• прямая убывает и наклон пологий.

Итого: угловой коэффициент — это характеристика наклона прямой; от него зависят направление (возрастание/убывание), крутизна, угол наклона, а также условия параллельности и перпендикулярности прямых и “темп изменения” величины в прикладных задачах.