Докажите, что если a+b+c=0, то ab+bc+ca<=0

Пусть $a+b+c=0$. Возведём обе части в квадрат:

Раскроем квадрат суммы:

Тогда из равенства $(a+b+c)^2=0$ получаем:

Перенесём сумму квадратов вправо:

Разделим на 2:

Отсюда сразу следует полезное следствие для вещественных $a,b,c$: так как $a^2\ge 0$, $b^2\ge 0$, $c^2\ge 0$, то

значит,

Причём равенство $ab+bc+ca=0$ возможно только тогда, когда $a^2+b^2+c^2=0$, а это бывает лишь при $a=b=c=0$.