найдите область определения функции у=√(10+3x-x²)/(x-3)

Для нахождения области определения функции $y = \sqrt{\frac{10 + 3x - x^2}{x - 3}}$, необходимо учесть два условия:

1. Подкоренное выражение в квадратном корне должно быть неотрицательным (то есть $\frac{10 + 3x - x^2}{x - 3} \geq 0$).

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, так как деление на ноль невозможно (то есть $x - 3 \neq 0$).

Шаг 1: Изучаем выражение под корнем

Подкоренное выражение — это дробь $\frac{10 + 3x - x^2}{x - 3}$. Чтобы она была неотрицательной, нужно найти, при каких значениях $x$ эта дробь будет больше или равна нулю.

Для этого анализируем числитель и знаменатель дроби.

Числитель: $10 + 3x - x^2 = -x^2 + 3x + 10$. Это квадратное выражение, которое можно записать как $- (x^2 - 3x - 10)$. Чтобы решить неравенство $\frac{- (x^2 - 3x - 10)}{x - 3} \geq 0$, нужно найти, при каких значениях $x$ оно будет выполняться.

Решим квадратное уравнение $x^2 - 3x - 10 = 0$ с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Получаем два корня:

Таким образом, выражение $x^2 - 3x - 10$ меняет знак в точках $x = -2$ и $x = 5$.

Теперь рассмотрим, как будет вести себя дробь. Поскольку числитель имеет вид $-(x^2 - 3x - 10)$, знак дроби будет зависеть от знака числителя и знаменателя:

• $x^2 - 3x - 10$ будет положительным на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(5, \infty)$, а отрицательным на $(-2, 5)$.

• Знаменатель $x - 3$ будет положительным при $x > 3$ и отрицательным при $x < 3$.

Теперь рассмотрим знак дроби на разных интервалах:

• На интервале $(-\infty, -2)$, как числитель, так и знаменатель будут отрицательными, дробь будет положительной.

• На интервале $(-2, 3)$, числитель будет положительным, а знаменатель отрицательным, дробь будет отрицательной.

• На интервале $(3, 5)$, числитель будет отрицательным, а знаменатель положительным, дробь будет положительной.

• На интервале $(5, \infty)$, числитель будет положительным, а знаменатель положительным, дробь будет отрицательной.

Таким образом, дробь будет неотрицательной на интервалах $(-\infty, -2]$ и $[3, 5]$.

Шаг 2: Исключаем значение $x = 3$

Мы видим, что $x = 3$ делает знаменатель равным нулю, так что значение $x = 3$ необходимо исключить из области определения.

Ответ:

Область определения функции — это объединение интервалов, где дробь неотрицательна, и исключение точки $x = 3$. То есть область определения: $(-\infty, -2] \cup (3, 5]$.