Решите неравенство (x-1)(x-7)<0

Для того чтобы решить неравенство $(x-1)(x-7) \geq 0$, необходимо разобраться, при каких значениях $x$ произведение двух выражений $(x - 1)$ и $(x - 7)$ будет больше или равно нулю.

Шаг 1: Найдем нули произведения

Рассмотрим выражение $(x - 1)(x - 7)$. Чтобы оно было равно нулю, одно из множителей должно быть равно нулю. Для этого:

Решения: $x = 1$ и $x = 7$.

Шаг 2: Определим знаки выражения на промежутках

Мы знаем, что значения $x = 1$ и $x = 7$ делят числовую ось на три промежутка:

1. $x < 1$

2. $1 \leq x \leq 7$

3. $x > 7$

Теперь нужно определить знак выражения $(x - 1)(x - 7)$ на этих промежутках. Для этого возьмем тестовые значения для каждого промежутка.

• На промежутке $x < 1$ (например, $x = 0$):

  $$(0 - 1)(0 - 7) = (-1)(-7) = 7 \quad (\text{положительное значение})$$

• На промежутке $1 < x < 7$ (например, $x = 2$):

  $$(2 - 1)(2 - 7) = (1)(-5) = -5 \quad (\text{отрицательное значение})$$

• На промежутке $x > 7$ (например, $x = 8$):

  $$(8 - 1)(8 - 7) = (7)(1) = 7 \quad (\text{положительное значение})$$

Шаг 3: Рассмотрим граничные точки

При $x = 1$:

При $x = 7$:

Шаг 4: Подытожим

Мы ищем такие $x$, при которых $(x - 1)(x - 7) \geq 0$. Это значит, что произведение должно быть положительным или равно нулю.

• На промежутке $(-\infty, 1)$ выражение положительно.

• На промежутке $(1, 7)$ выражение отрицательно.

• На промежутке $(7, +\infty)$ выражение положительно.

Кроме того, на границах $x = 1$ и $x = 7$ выражение равно нулю.

Итак, решение неравенства: $x \leq 1$ или $x \geq 7$.

В ответе: $x \in (-\infty, 1] \cup [7, +\infty)$.