Найдите производную функции \( f(x) = x^3 e^x \).

Для нахождения производной функции $f(x) = x^3 e^x$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций. Напомним, что если $f(x) = g(x) \cdot h(x)$, то производная этой функции будет вычисляться по формуле:

В нашем случае:

• $g(x) = x^3$,

• $h(x) = e^x$.

Теперь найдем производные этих функций:

• $g'(x) = 3x^2$ (производная от $x^3$),

• $h'(x) = e^x$ (производная от $e^x$).

Подставляем все это в формулу:

Объединяя подобные члены, получаем:

Это и есть производная функции $f(x) = x^3 e^x$.