x+y+z=6 x(y+z)=5 y(x+z)=8 все уравнения в системе

Подставим из первого уравнения $x+y+z=6$ выражения для $y+z$ и $x+z$ в остальные уравнения:

Решения: $x=1$ или $x=5$.

Аналогично для $y$:

Решения: $y=2$ или $y=4$.

Перебираем сочетания значений $x$ и $y$ и находим $z=6-x-y$:

1. $x=1,\ y=2\Rightarrow z=6-1-2=3$. Проверка: $1(2+3)=5,\ 2(1+3)=8$ — верно.

2. $x=1,\ y=4\Rightarrow z=6-1-4=1$. Проверка: $1(4+1)=5,\ 4(1+1)=8$ — верно.

3. $x=5,\ y=2\Rightarrow z=6-5-2=-1$. Проверка: $5(2-1)=5,\ 2(5-1)=8$ — верно.

4. $x=5,\ y=4\Rightarrow z=6-5-4=-3$. Проверка: $5(4-3)=5,\ 4(5-3)=8$ — верно.

Итак, все решения системы: