Найти катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 7 см больше другого, а гипотенуза этого треугольника равна 13 см.

Пусть меньший катет прямоугольного треугольника равен x см.

Тогда второй катет, который на 7 см больше, равен:

x + 7 см

Гипотенуза равна 13 см.

По теореме Пифагора:

x² + (x + 7)² = 13²

Раскроем скобки:

x² + x² + 14x + 49 = 169

Сложим подобные слагаемые:

2x² + 14x + 49 = 169

Перенесём 169 в левую часть:

2x² + 14x - 120 = 0

Разделим всё уравнение на 2:

x² + 7x - 60 = 0

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

x² + 7x - 60 = (x + 12)(x - 5)

Получаем:

(x + 12)(x - 5) = 0

Отсюда:

x = -12 или x = 5

Так как длина катета не может быть отрицательной, берём:

x = 5

Значит, меньший катет равен 5 см, а больший:

5 + 7 = 12 см

Проверим:

5² + 12² = 25 + 144 = 169

√169 = 13

Всё верно.

Ответ: катеты равны 5 см и 12 см.