Найдите производную функции \( y = (\cos x)^5 \).

Чтобы найти производную функции $y = (\cos x)^5$, нужно применить правило цепочки, так как у нас есть сложная функция: внешняя функция — возведение в пятую степень, внутренняя — $\cos x$.

Разберём шаг за шагом:

1. Обозначим внутреннюю и внешнюю функцию:

   Пусть $u = \cos x$, тогда $y = u^5$.

2. Найдём производную внешней функции по $u$:

   $$\frac{dy}{du} = 5u^4$$

3. Найдём производную внутренней функции $u = \cos x$ по $x$:

   $$\frac{du}{dx} = -\sin x$$

4. Применим правило цепочки:

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot (-\sin x)$$

5. Подставим обратно $u = \cos x$:

   $$\frac{dy}{dx} = 5 (\cos x)^4 \cdot (-\sin x)$$

6. Упрощаем знак:

   $$\frac{dy}{dx} = -5 (\cos x)^4 \sin x$$

✅ Ответ:

Это и есть производная функции $y = (\cos x)^5$.