Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 65, а сумма третьего и четвёртого членов равна 30. Найти первый член и разность прогрессии.

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

Пусть первый член арифметической прогрессии равен $a_1 = a$, а разность прогрессии $d$. Тогда члены прогрессии будут:

Шаг 1. Сумма первых пяти членов

Сумма первых пяти членов:

Складываем подобные:

По условию $S_5 = 65$, значит:

Разделим всё на 5:

Шаг 2. Сумма третьего и четвёртого членов

Третий член: $a_3 = a + 2d$
Четвёртый член: $a_4 = a + 3d$

Сумма этих двух членов:

По условию это равно 30:

Шаг 3. Решаем систему уравнений

Система уравнений:

Из первого уравнения выразим $a$:

Подставим в второе уравнение:

Теперь находим $a$:

Ответ:

Проверка:

• Сумма первых пяти: $5 + 9 + 13 + 17 + 21 = 65$ ✔

• Сумма 3-го и 4-го: $13 + 17 = 30$ ✔

Все условия выполнены.