В трапеции ABCD основание AD=10. Средняя линия EF пересекается с диагональю BD в точке О. Разность отрезков EO и OF равна 3. Найдите среднюю линию EF.

Давай разберём задачу шаг за шагом, аккуратно, как если бы я решал её на форуме.

Дано:

• Трапеция $ABCD$ с основанием $AD = 10$ (нижнее основание).

• Средняя линия $EF$ пересекает диагональ $BD$ в точке $O$.

• Разность $EO - OF = 3$.

• Нужно найти длину средней линии $EF$.

Шаг 1: Вспомним свойства средней линии

В трапеции средняя линия соединяет середины боковых сторон и параллельна основаниям. Её длина равна полусумме оснований:

Пусть $AB = x$ (верхнее основание), тогда

Шаг 2: Свойства точек пересечения с диагональю

В трапеции есть известное свойство: если точка $O$ делит диагональ $BD$, а $EF$ — средняя линия, то отрезки на диагонали пропорциональны основаниям:

Проверим: пусть $EO = a$, $OF = b$, и известно, что $EO - OF = 3$. Тогда

Также $EO - OF = 3 \implies a - b = 3$.
Но из пропорции $a / b = 10 / x \implies a = \frac{10}{x} b$.

Подставляем в разность:

Тогда $a = \frac{10}{x} \cdot \frac{3x}{10 - x} = \frac{30}{10 - x}$.

Проверим: $a - b = \frac{30}{10 - x} - \frac{3x}{10 - x} = \frac{30 - 3x}{10 - x} = 3$ ✅ Всё верно.

Шаг 3: Найдём верхнее основание $AB$

Мы знаем, что средняя линия $EF$ — это отрезок, параллельный основаниям. В трапеции точка пересечения диагоналей с средней линией делит её в отношении оснований:

Из предыдущего шага:

Решаем уравнение:

То есть уравнение выполняется для любого $x < 10$. Это значит, что длина средней линии не зависит от конкретного верхнего основания, а зависит только от разности $EO - OF$.

Шаг 4: Выражаем среднюю линию через разность отрезков

Из пропорции $EO / OF = AD / AB = 10 / x$ получаем $EF = (AB + AD)/2 = (x + 10)/2$