1)Log0,2(x^2+4x)=-1 2)Log3 1/x + Log3 √x=-1

Давай разберём оба уравнения шаг за шагом. Я буду подробно объяснять, как решать каждый из них.

1) $\log_{0.2}(x^2 + 4x) = -1$

1. Проверяем область определения (ОДЗ):
   Для логарифма верно: аргумент должен быть положительным.

   $$x^2 + 4x > 0 \implies x(x+4) > 0$$

   Решаем неравенство:

   • Корни: $x = 0$ и $x = -4$

   • Так как парабола открыта вверх (коэффициент при $x^2$ положительный), получаем:

     $$x < -4 \quad \text{или} \quad x > 0$$

2. Переписываем уравнение в экспоненциальной форме:
   Напомним, что $\log_a b = c \iff a^c = b$. Здесь $a = 0.2$, $b = x^2 + 4x$, $c = -1$.

   $$0.2^{-1} = x^2 + 4x$$

3. Считаем $0.2^{-1}$:

   $$0.2^{-1} = \frac{1}{0.2} = 5$$

   Подставляем в уравнение:

   $$x^2 + 4x = 5$$

4. Приводим к стандартной квадратной форме:

   $$x^2 + 4x - 5 = 0$$

5. Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

   $$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2}$$

   Получаем два решения:

   $$x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = -5$$

6. Проверяем на принадлежность ОДЗ:

   • $x = 1 > 0$ ✅ подходит

   • $x = -5 < -4$ ✅ тоже подходит

Ответ для первого уравнения:

2) $\log_3 \frac{1}{x} + \log_3 \sqrt{x} = -1$

1. Объединяем логарифмы по правилу $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

   $$\log_3 \left(\frac{1}{x} \cdot \sqrt{x}\right) = -1$$

2. Упрощаем выражение внутри логарифма:

   $$\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{x^{1/2}}{x^1} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$

   Теперь уравнение:

   $$\log_3 \frac{1}{\sqrt{x}} = -1$$