Корабль "Фокс" прошёл 270 км по течению реки. Сделав трёхчасовую остановку, он вернулся обратно, затратив на весь маршрут 31 час. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость корабля 21 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решим задачу поэтапно, используя обозначения и уравнения.

1. Обозначим известные величины:

   • Собственная скорость корабля (скорость в стоячей воде) $v_{\text{корабля}} = 21$ км/ч.
   • Пройденное расстояние в одну сторону (вниз по течению) $S = 270$ км.
   • Полное время в пути, включая остановку, $T_{\text{общ}} = 31$ ч.
   • Время остановки $T_{\text{ост}} = 3$ ч.
   • Скорость течения реки обозначим как $v_{\text{течения}}$ км/ч (неизвестная величина, которую мы ищем).

2. Скорость движения корабля по течению и против течения:

   • При движении по течению суммарная скорость корабля составляет $v_{\text{по течению}} = v_{\text{корабля}} + v_{\text{течения}}$.
   • При движении против течения скорость корабля будет $v_{\text{против течения}} = v_{\text{корабля}} - v_{\text{течения}}$.

3. Время в пути в одну сторону:

   • Время, затраченное на движение по течению: $$T_{\text{по течению}} = \frac{S}{v_{\text{по течению}}} = \frac{270}{21 + v_{\text{течения}}}$$
   • Время, затраченное на движение против течения: $$T_{\text{против течения}} = \frac{S}{v_{\text{против течения}}} = \frac{270}{21 - v_{\text{течения}}}$$

4. Составим уравнение для полного времени в пути: С учётом остановки, общее время $T_{\text{общ}} = 31$ ч. Тогда:

   $$T_{\text{по течению}} + T_{\text{против течения}} + T_{\text{ост}} = T_{\text{общ}}$$

   Подставим известные значения:

   $$\frac{270}{21 + v_{\text{течения}}} + \frac{270}{21 - v_{\text{течения}}} + 3 = 31$$

   Упростим, убрав остановку из общего времени:

   $$\frac{270}{21 + v_{\text{течения}}} + \frac{270}{21 - v_{\text{течения}}} = 28$$

5. Решим уравнение: Умножим обе части на $(21 + v_{\text{течения}})(21 - v_{\text{течения}})$ для избавления от дробей:

   $$270 \cdot (21 - v_{\text{течения}}) + 270 \cdot (21 + v_{\text{течения}}) = 28 \cdot (21 + v_{\text{течения}})(21 - v_{\text{течения}})$$

   Раскроем скобки:

   $$270 \cdot 21 - 270 \cdot v_{\text{течения}} + 270 \cdot 21 + 270 \cdot v_{\text{течения}} = 28 \cdot (441 - v_{\text{течения}}^2)$$

   Сократим, получив:

   $$540 \cdot 21 = 28 \cdot (441 - v_{\text{течения}}^2)$$

   Подставим числа:

   $$11340 = 12348 - 28 \cdot v_{\text{течения}}^2$$

   Выразим $v_{\text{течения}}^2$:

   $$28 \cdot v_{\text{течения}}^2 = 1008$$ $$v_{\text{течения}}^2 = 36$$