Максимально просто поясніть фундаментальну систему розв’язків однорідної системи. Лінійна алгебра.

Однорідна система лінійних рівнянь має вигляд \( A \vec{x} = \vec{0} \). Усі її розв’язки утворюють векторний простір. Фундаментальна система розв’язків (ФСР) — це набір лінійно незалежних векторів-розв’язків, через які можна виразити будь-який інший розв’язок. Іншими словами, це базис простору розв’язків.

Кількість векторів у ФСР дорівнює \( n - r \), де \( n \) — кількість невідомих, а \( r \) — ранг матриці системи.

Як знайти ФСР:

• Запишіть систему у вигляді розширеної матриці і зведіть її до східчастого вигляду.
• Визначте базисні (залежні) та вільні змінні.
• Виразити базисні змінні через вільні.
• По черзі надавайте одній вільній змінній значення 1, а решті вільних — 0, і обчислюйте відповідні значення базисних змінних. Отримані вектори і є ФСР.

Загальний розв’язок системи записується як лінійна комбінація векторів ФСР: \[ \vec{x} = c_1 \vec{v}_1 + c_2 \vec{v}_2 + \dots + c_k \vec{v}_k, \] де \( c_1, c_2, \dots, c_k \) — довільні сталі.

0 0 Пожаловаться