Моторная лодка прошла против течения 21 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 20 мин меньше, при движении против течения. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 16 км/ч

Для решения задачи обозначим:

• $v_b = 16$ км/ч — собственная скорость лодки (скорость лодки в стоячей воде).
• $v_t$ — скорость течения реки (неизвестная величина).
• Расстояние, которое лодка прошла в оба направления, равно 21 км.
• Время, затраченное на движение против течения, на 20 минут больше времени, затраченного на движение по течению.

Шаг 1: Формулы для времени

Для того чтобы найти время, затраченное на движение в обоих направлениях, используем формулы для времени, которые рассчитываются по формуле $t = \frac{s}{v}$, где:

• $t$ — время,
• $s$ — расстояние,
• $v$ — скорость.

1. Время движения против течения: Скорость лодки против течения будет равна разности собственной скорости лодки и скорости течения, т.е. $v_b - v_t$. Время на движение против течения будет равно:

   $$t_{\text{против}} = \frac{21}{v_b - v_t} = \frac{21}{16 - v_t}$$

2. Время движения по течению: Скорость лодки по течению будет равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения, т.е. $v_b + v_t$. Время на движение по течению будет равно:

   $$t_{\text{по}} = \frac{21}{v_b + v_t} = \frac{21}{16 + v_t}$$

Шаг 2: Условие задачи

Из условия задачи известно, что время на обратный путь (по течению) на 20 минут меньше, чем время на путь против течения. Переведем 20 минут в часы: $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ часа.

Таким образом, можем записать уравнение:

Подставим выражения для времен:

Шаг 3: Решение уравнения

Для удобства умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби справа:

Теперь вынесем $63$ за скобки:

Разница дробей с одинаковыми числителями:

Подставим это в уравнение:

Умножим обе стороны на $256 - v_t^2$: