Дана треугольная пирамида SABC; O— точка пересечения медиан основания ABC. Найдите угол между прямой BC и плоскостью ABM, если пирамида правильная, а угол между прямой, проходящей через точку M и середину ребра AB, и прямой SO равен 45◦

В условии не указано, где расположена точка $M$. Если подразумевается стандартная формулировка $M\in SC$ (в частности, $M$ может быть серединой $SC$), то ответ определяется однозначно.

Обозначим через $N$ середину ребра $AB$. В правильной треугольной пирамиде:

• $ABC$ — равносторонний треугольник;

• $CN\perp AB$;

• $O\in CN$;

• $SO\perp (ABC)$.

Точки $S,C,N,O$ лежат в одной плоскости, поэтому $M$, лежащая на $SC$, также принадлежит этой плоскости. Проекция отрезка $MN$ на основание направлена вдоль $CN$, то есть перпендикулярна $AB$.

Пусть $P$ — проекция точки $M$ на основание. Тогда $MP\parallel SO$, а треугольник $MNP$ прямоугольный. По условию

следовательно,

и потому в прямоугольном треугольнике $MNP$

Выберем координаты с началом в точке $N$:

Тогда направляющий вектор прямой $MN$ имеет вид

поэтому нормальный вектор к плоскости $ABM$ можно взять таким:

Поскольку $ABC$ равносторонний, направляющий вектор прямой $BC$ пропорционален

Угол $\varphi$ между прямой $BC$ и плоскостью $ABM$ находится по формуле

Получаем:

Следовательно,

или, что то же самое,