Туристы на лодке гребли один час по течению реки и два часа плыли по течению, сложив весла. Затем они пять часов гребли вверх по реке и приплыли к месту старта. Через сколько часов с момента старта вернулись бы туристы, если бы после часовой гребли по течению они сразу стали грести обратно? Скорость лодки в стоячей воде и скорость течения постоянны

Давайте разберемся с задачей поэтапно.

Условные обозначения:

1. Пусть скорость лодки в стоячей воде равна $v$, а скорость течения — $u$.
2. Тогда:
   • Скорость лодки по течению равна $v + u$,
   • Скорость лодки против течения равна $v - u$.

Что происходило изначально:

1. Туристы гребли по течению один час, пройдя расстояние $S_1 = (v + u) \cdot 1$.
2. Затем они два часа плыли по течению, сложив весла, пройдя расстояние $S_2 = (v + u) \cdot 2$.
3. После этого они начали гребсти против течения. Задача утверждает, что за 5 часов они вернулись в исходную точку.

Анализ:

Общее расстояние вниз по течению:

Чтобы вернуться назад, они прошли это же расстояние $S_{\text{вниз}}$ против течения:

По условию $t_{\text{вверх}} = 5$ часов. Подставим $S_{\text{вниз}}$:

Решим это уравнение:

Раскрываем скобки:

Переносим всё с $v$ в одну сторону, а всё с $u$ — в другую:

Делим обе части на $-2$:

Теперь рассматриваем новый сценарий:

Если туристы сразу после часовой гребли по течению начали возвращаться, то их путь будет таким:

1. Вниз по течению: они гребли 1 час и прошли расстояние: $$S_{\text{вниз}} = (v + u) \cdot 1 = v + u.$$
2. Вверх против течения: они возвращаются, преодолевая то же расстояние $S_{\text{вниз}}$: $$t_{\text{вверх}} = \frac{S_{\text{вниз}}}{v - u} = \frac{v + u}{v - u}.$$

Подставим $v = 4u$:

• $v + u = 4u + u = 5u$,
• $v - u = 4u - u = 3u$.

Тогда:

Общее время:

1. Час гребли по течению: $1$ час,
2. Возвращение против течения: $\frac{5}{3}$ часа.

Складываем:

Ответ:

Туристы вернулись бы через $\frac{8}{3}$ часа, или $2 \, \text{ч. } 40 \, \text{мин.}$.