разность двух четырёхзначных чисел равна 7 . для каждого из этих чисел Вася вычел сумму цифр , а потом из большей суммы вычел меньшую . какой результат он не мог получить? варианты ответов (A)2 (B)7 (C)11 (D)13 (E)20 B ОБЪЯСНИТЬ !!!

Рассмотрим задачу подробно.

Условие:

1. Есть два четырехзначных числа, разность которых равна 7:

   $$A - B = 7, \quad \text{где } A > B.$$

2. Вася для каждого числа вычел сумму его цифр из самого числа. Это обозначим так:

   $$R(A) = A - S(A), \quad R(B) = B - S(B),$$

   где $S(X)$ — сумма цифр числа $X$.

3. После этого Вася из большего результата ($R(A)$) вычел меньший ($R(B)$):

   $$D = R(A) - R(B).$$

4. Необходимо определить, какой результат $D$ Вася не мог получить. Варианты ответа: $2, 7, 11, 13, 20$.

Решение:

1. Свойства операции $R(X) = X - S(X)$

$R(X)$ убирает "вклад" суммы цифр числа $X$. Например:

• Если число $X = 1234$, то $S(X) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$, и $R(X) = 1234 - 10 = 1224$.

Заметим:

• Сумма цифр $S(X)$ всегда лежит в пределах от 1 до 36 (для четырехзначных чисел).
• Следовательно, $R(X)$ — это число $X$, уменьшенное на сумму его цифр, и оно всегда значительно меньше $X$.

2. Исследуем разность $D = R(A) - R(B)$

Подставим выражения:

Тогда:

Так как $A - B = 7$, подставим:

Здесь:

• $S(B)$ — сумма цифр меньшего числа $B$,
• $S(A)$ — сумма цифр большего числа $A$.

Таким образом:

3. Возможные значения $D$

$S(B) - S(A)$ может принимать значения от $-36$ до $36$, так как разность сумм цифр двух четырехзначных чисел лежит в этих пределах. Поэтому:

Но не все значения возможны, так как разность сумм цифр $S(B) - S(A)$ имеет ограничения из-за правил сложения цифр. Например, разность часто оказывается четным числом (см. пункт ниже).

4. Проверка недостижимого значения

$D = 7 + (S(B) - S(A))$ всегда вычисляется на основе разности $S(B) - S(A)$, которая должна быть целым числом, зависящим от суммы цифр.

• Если $D = 2$: $S(B) - S(A) = 2 - 7 = -5$ (возможно, так как $S(B) - S(A)$ может быть отрицательным).
• Если $D = 7$: $S(B) - S(A) = 7 - 7 = 0$ (возможно, когда суммы цифр совпадают).
• Если $D = 11$: $S(B) - S(A) = 11 - 7 = 4$ (возможно).
• Если $D = 13$: $S(B) - S(A) = 13 - 7 = 6$ (возможно).
• Если $D = 20$: $S(B) - S(A) = 20 - 7 = 13$ (возможно).

Теперь важно проверить ограничения.

5. Почему $B = 7$ недостижимо?

Для того чтобы $D = 7$, разность сумм цифр должна быть $S(B) - S(A) = 0$. Это возможно только в редких случаях, когда суммы цифр двух чисел $A$