(4√2)cos^2(15pi/8)-2√2

Чтобы вычислить выражение $(4\sqrt{2})\cos^2\left(\frac{15\pi}{8}\right) - 2\sqrt{2}$, разобьём задачу на несколько шагов:

1. Упростим выражение для $\cos^2\left(\frac{15\pi}{8}\right)$:

Вспомним, что для углов $\theta + 2\pi k$ (где $k \in \mathbb{Z}$) значение косинуса повторяется, так как косинус периодичен с периодом $2\pi$. Таким образом, сначала уменьшим угол $\frac{15\pi}{8}$ в пределах $[0, 2\pi]$:

Угол $\frac{15\pi}{8}$ находится в четвёртой четверти, где $\cos(x) > 0$, так что знак косинуса будет положительным.

Теперь используем тригонометрическую формулу двойного угла:

Подставим $x = \frac{15\pi}{8}$:

Упростим угол $2 \cdot \frac{15\pi}{8} = \frac{30\pi}{8} = \frac{15\pi}{4}$. Теперь уменьшим этот угол до диапазона $[0, 2\pi]$, вычтя $2\pi$ (то есть $\frac{8\pi}{4}$):

Таким образом, $\cos(2x) = \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)$.

2. Найдём $\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)$:

Угол $\frac{7\pi}{4}$ находится в четвёртой четверти, и косинус положительный. Это тот же угол, что и $-\frac{\pi}{4}$ (или $2\pi - \frac{\pi}{4}$). Значение косинуса для $-\frac{\pi}{4}$ равно:

Таким образом, $\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Подставим в формулу для $\cos^2\left(\frac{15\pi}{8}\right)$: