В футболе команда получает за победу 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Команда сыграла в чемпионате страны 30 матчей и набрала 75 очков. Какое наибольшее число ничейных матчей могло быть у этой команды? (Надо решением, не уравнением!)

Команда сыграла 30 матчей и получила 75 очков.

Чтобы ничьих было как можно больше, нужно оставить как можно меньше побед, потому что победа дает больше очков (3), а ничья — только 1.

Сначала представим, что все 30 матчей закончились вничью. Тогда команда получила бы:

30 × 1 = 30 очков.

Но у нее 75 очков, значит, нужно дополнительно получить:

75 − 30 = 45 очков.

Каждая замена ничьей на победу увеличивает количество очков на 2 (было 1 очко, стало 3 очка).

Чтобы получить дополнительные 45 очков, нужно сделать как можно меньше таких замен:

45 очков не делится на 2, поэтому берем ближайшее большее четное число — 46. Тогда понадобится:

46 : 2 = 23 победы.

Значит, из 30 матчей 23 матча были победными, а остальные:

30 − 23 = 7 матчей

могли быть ничейными.

Проверим:
23 победы дают 23 × 3 = 69 очков.
7 ничьих дают 7 × 1 = 7 очков.
Всего: 69 + 7 = 76 очков — это больше нужного.

Значит, 23 победы слишком много. Берем 22 победы:

22 × 3 = 66 очков.
Оставшиеся очки: 75 − 66 = 9 очков.

Эти 9 очков можно набрать девятью ничьими.

Получается:
22 победы, 9 ничьих, остальные матчи — поражения.

Проверка количества матчей:
22 + 9 = 31 матч, а сыграно только 30. Значит, такой вариант невозможен.

Берем 21 победу:

21 × 3 = 63 очка.
Осталось набрать: 75 − 63 = 12 очков.

12 очков можно получить 12 ничьими.

Количество матчей:
21 + 12 = 33 — тоже невозможно.

Берем 20 побед:

20 × 3 = 60 очков.
Осталось: 75 − 60 = 15 очков.

15 ничьих дают 15 очков.
Матчей потребуется:

20 + 15 = 35 — невозможно.

Берем 19 побед:

19 × 3 = 57 очков.
Осталось:

75 − 57 = 18 очков.

18 ничьих дают 18 очков.
Матчей:

19 + 18 = 37 — невозможно.

Видно, что нужно уменьшать число побед. Продолжим:

15 побед дают:

15 × 3 = 45 очков.

Осталось:

75 − 45 = 30 очков.

30 ничьих потребовалось бы, но всего матчей 30, а победы уже заняли 15 матчей. Невозможно.

Пробуем 25 побед:

25 × 3 = 75 очков.

Все очки уже набраны только победами, значит ничьих нет.

Чтобы получить максимум ничьих, нужно уменьшать количество побед и добавлять ничьи, но при этом уложиться в 30 матчей. Пусть все оставшиеся после побед матчи будут ничьими.

Если побед 15, то остальные 15 матчей могут быть ничьими и дадут:

15 × 3 + 15 × 1 = 45 + 15 = 60 очков — мало.

Каждая замена ничьей на победу добавляет 2 очка. Нужно добавить к 60 очкам еще 15 очков. Для этого нужно заменить 8 ничьих на победы (получим +16 очков).

Тогда будет:

15 + 8 = 23 победы,
15 − 8 = 7 ничьих.

Проверяем:

23 победы дают 69 очков.
7 ничьих дают 7 очков.
Всего 76 — на 1 больше.

Значит, нужно заменить только 7 ничьих:

22 победы и 8 ничьих:

22 × 3 = 66 очков,
8 × 1 = 8 очков,
всего 74 очка — мало.

Следовательно, добавляем еще одну победу вместо ничьей:

23 победы и 7 ничьих дают 76 очков, а 22 победы и 8 ничьих дают 74 очка. Между ними нет варианта, поэтому нужно учесть поражение.

Берем 23 победы, 6 ничьих и 1 поражение:

23 × 3 = 69 очков,
6 × 1 = 6 очков.

Всего 69 + 6 = 75 очков.

Значит, наибольшее число ничейных матчей — 6.