Найдите значение a, при каждом из которых система уравнений

{ (xy^2 - 2xy - 4y + 8)/√(x+4) = 0
{ y = ax

имеет ровно два различных решения. (18 задание из ЕГЭ с параметрами)

Решим систему уравнений:

Нужно найти все значения параметра $a$, при которых система имеет ровно два различных решения.

Шаг 1. Упростим первое уравнение

Сначала найдём ОДЗ. Поскольку корень находится в знаменателе, необходимо:

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю.

Разложим числитель на множители:

Таким образом, исходная система равносильна:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Поэтому получаем две системы:

Шаг 2. Подставим $y=ax$

Подставляя второе уравнение в первое, получаем:

Следовательно,

Рассмотрим корни каждого уравнения.

Первое уравнение:

Второе уравнение:

Действительные корни существуют только при $a>0$:

Теперь необходимо учесть ОДЗ $x>-4$ и возможное совпадение корней.

Шаг 3. Рассмотрим случаи

Случай