Решите неравенство: 3х^2-27/2х+7<0

Для решения неравенства $\frac{3x^2 - 27}{2x + 7} < 0$ нужно найти значения $x$, при которых дробь отрицательна. Мы будем анализировать числитель и знаменатель по отдельности.

1. Найдем корни числителя $3x^2 - 27$.

Числитель можно привести к удобному виду:

Таким образом, числитель равен нулю, когда $x = 3$ или $x = -3$.

2. Найдем, при каких значениях $x$ знаменатель $2x + 7$ равен нулю.

Знаменатель равен нулю при:

Это значение нельзя включать в область определения, так как знаменатель не может быть равен нулю.

3. Определим знаки числителя и знаменателя.

Теперь разбиемся на интервалы, определенные корнями числителя и знаменателя. Это будут интервалы:

• $(-\infty, -\frac{7}{2})$,
• $(-\frac{7}{2}, -3)$,
• $(-3, 3)$,
• $(3, \infty)$.

Проверим знак дроби на каждом интервале. Для этого подставим по одному значению из каждого интервала в числитель и знаменатель:

• Интервал $(-\infty, -\frac{7}{2})$:

  • Числитель: $3x^2 - 27$ при $x = -4$ даст положительное значение, так как $3(-4)^2 - 27 = 48 - 27 = 21$.
  • Знаменатель: $2x + 7$ при $x = -4$ даст отрицательное значение, так как $2(-4) + 7 = -8 + 7 = -1$.
  • Следовательно, дробь $\frac{3x^2 - 27}{2x + 7}$ на этом интервале будет отрицательной.

• Интервал $(-\frac{7}{2}, -3)$:

  • Числитель: при $x = -4$, $3(-4)^2 - 27 = 21$ (положительный).
  • Знаменатель: $2(-4) + 7 = -1$ (отрицательный).
  • Следовательно, дробь на этом интервале также отрицательна.

• Интервал $(-3, 3)$:

  • Числитель: $3x^2 - 27$ при $x = 0$ даст отрицательное значение, так как $3(0)^2 - 27 = -27$.
  • Знаменатель: $2(0) + 7 = 7$ (положительный).
  • Следовательно, дробь на этом интервале также отрицательна.

• Интервал $(3, \infty)$:

  • Числитель: $3x^2 - 27$ при $x = 5$ дает положительный знак, так как $3(5)^2 - 27 = 75 - 27 = 48$.
  • Знаменатель: $2(5) + 7 = 17$ (положительный).
  • Следовательно, дробь на этом интервале также отрицания.