Сколько существует пятизначных чисел, сумма цифр которых равна 2?

Чтобы найти количество пятизначных чисел, сумма цифр которых равна 2, необходимо решить задачу комбинаторики с учетом определенных условий.

Шаги решения:

1. Условия задачи:

   • Число пятизначное, то есть его первая цифра (старший разряд) не может быть равна 0.
   • Сумма всех цифр числа равна 2.

   Представим пятизначное число как $x_1 x_2 x_3 x_4 x_5$, где $x_1$ — первая цифра, $x_2, x_3, x_4, x_5$ — остальные цифры. Все $x_i$ должны быть от 0 до 9.

2. Уравнение для суммы цифр:

   $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 2,$$

   где $x_1 \geq 1$ (потому что число не может начинаться с 0), а $x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 0$.

3. Замена переменной $x_1$: Чтобы учесть условие $x_1 \geq 1$, введем новую переменную $y_1 = x_1 - 1$, где $y_1 \geq 0$. Тогда уравнение переписывается как:

   $$y_1 + 1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 2,$$

   или

   $$y_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 1.$$

4. Решение уравнения: Теперь задача сводится к нахождению неотрицательных целых решений уравнения

   $$y_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 1.$$

   Это задача на разбиение числа 1 на 5 слагаемых, каждое из которых может быть равно 0 или больше.

   Количество таких разбиений определяется формулой комбинаторики:

   $$C(n + k - 1, k - 1),$$

   где $n$ — сумма (в нашем случае 1), $k$ — количество переменных (в нашем случае 5). Подставляем значения:

   $$C(1 + 5 - 1, 5 - 1) = C(5, 4) = 5.$$

5. Проверка ограничений: Все найденные разбиения удовлетворяют условию, что $x_1 \geq 1$, так как мы учли это при замене переменной. Поэтому количество решений корректно.

Ответ:

Существует 5 пятизначных чисел, сумма цифр которых равна 2.