При каком значении $a$ и $b$ вектор $\mathbf{c} = (2; -a; 3)$ будет коллинеарен вектору $\mathbf{d} = 3\mathbf{i} + \mathbf{j} + b\mathbf{k}$?

Для того чтобы вектора $\mathbf{c} = (2, -a, 3)$ и $\mathbf{d} = (3, 1, b)$ были коллинеарны, необходимо, чтобы один из векторов был пропорционален другому. То есть, должны существовать такие скаляры $k$, что:

Это означает, что компоненты векторов должны удовлетворять следующей системе уравнений:

Решим систему:

1. Из первого уравнения:

2. Подставим значение $k$ во второе уравнение:

3. Подставим $k = \frac{2}{3}$ в третье уравнение:

Таким образом, для того чтобы вектора $\mathbf{c}$ и $\mathbf{d}$ были коллинеарны, необходимо, чтобы $a = -\frac{2}{3}$ и $b = \frac{9}{2}$.