Даны точки P(3,1,1) и Q(4,-2,1). Найдите косинус угла между векторами OP и OQ.

Чтобы найти косинус угла между двумя векторами $\mathbf{p} = (3, 1, 1)$ и $\mathbf{q} = (4, -2, 1)$, нужно использовать формулу для косинуса угла между двумя векторами:

Где:

• $\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}$ — скалярное произведение векторов,
• $|\mathbf{p}|$ и $|\mathbf{q}|$ — их длины (модули).

Шаг 1: Найдём скалярное произведение $\mathbf{p} \cdot \mathbf{q}$

Скалярное произведение двух векторов $\mathbf{p} = (p_1, p_2, p_3)$ и $\mathbf{q} = (q_1, q_2, q_3)$ рассчитывается как:

Подставляем координаты векторов $\mathbf{p} = (3, 1, 1)$ и $\mathbf{q} = (4, -2, 1)$:

Шаг 2: Найдём длины векторов $|\mathbf{p}|$ и $|\mathbf{q}|$

Длина вектора $\mathbf{p} = (p_1, p_2, p_3)$ рассчитывается как:

Для вектора $\mathbf{p} = (3, 1, 1)$:

А для вектора $\mathbf{q} = (4, -2, 1)$:

Шаг 3: Подставим всё в формулу для косинуса угла

Теперь, зная скалярное произведение и длины векторов, подставим эти значения в формулу для косинуса угла:

Таким образом, косинус угла между векторами $\mathbf{p}$ и $\mathbf{q}$ равен $\frac{11}{\sqrt{231}}$.

Если нужно, можно оставить ответ в виде числа с более точной десятичной запятой, но точность в виде дроби тоже является стандартным и правильным ответом.