Сократите дроби и найдите обратные им дроби:
а) 16/6 (8 баллов);
б) 32/18 (8 баллов);
в) 660/924 (9 баллов);
г) 1330/190 (9 баллов).

Давайте решим каждую из задач по порядку.

а) $\frac{16}{6}$

1. Сначала сократим дробь $\frac{16}{6}$. Для этого нужно найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя.

   • Числитель: 16 = $2^4$
   • Знаменатель: 6 = $2 \times 3$

   НОД (16, 6) = 2, так как это наибольшее число, которое делит оба числа.

2. Теперь разделим и числитель, и знаменатель на 2:

   $$\frac{16}{6} = \frac{16 \div 2}{6 \div 2} = \frac{8}{3}$$

3. Обратная дробь к $\frac{8}{3}$ — это $\frac{3}{8}$, потому что при нахождении обратной дроби нужно поменять местами числитель и знаменатель.

Ответ: сокращенная дробь — $\frac{8}{3}$, обратная ей — $\frac{3}{8}$.

б) $\frac{32}{18}$

1. Сначала найдем НОД числителя и знаменателя.

   • Числитель: 32 = $2^5$
   • Знаменатель: 18 = $2 \times 3^2$

   НОД (32, 18) = 2, так как наибольший общий делитель — 2.

2. Теперь сократим дробь:

   $$\frac{32}{18} = \frac{32 \div 2}{18 \div 2} = \frac{16}{9}$$

3. Обратная дробь к $\frac{16}{9}$ — это $\frac{9}{16}$.

Ответ: сокращенная дробь — $\frac{16}{9}$, обратная ей — $\frac{9}{16}$.

в) $\frac{660}{924}$

1. Для нахождения НОД числителя и знаменателя сначала разложим их на простые множители.

   • Числитель: 660 = $2^2 \times 3 \times 5 \times 11$
   • Знаменатель: 924 = $2^2 \times 3 \times 7 \times 11$

   НОД (660, 924) = $2^2 \times 3 \times 11 = 132$.

2. Теперь сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 132:

   $$\frac{660}{924} = \frac{660 \div 132}{924 \div 132} = \frac{5}{7}$$

3. Обратная дробь к $\frac{5}{7}$ — это $\frac{7}{5}$.

Ответ: сокращенная дробь — $\frac{5}{7}$, обратная ей — $\frac{7}{5}$.

г) $\frac{1330}{190}$

1. Найдем НОД числителя и знаменателя.

   • Числитель: 1330 = $2 \times 5 \times 7 \times 19$
   • Знаменатель: 190 = $2 \times 5 \times 19$

   НОД (1330, 190) = $2 \times 5 \times 19 = 190$.

2. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 190:

   $$\frac{1330}{190} = \frac{1330 \div 190}{190 \div 190} = \frac{7}{1}$$

3. Обратная дробь к $\frac{7}{1}$ — это $\frac{1}{7}$.

Ответ: сокращенная дробь — $\frac{7}{1}$, обратная ей — $\frac{1}{7}$.

Итоговые ответы:

• а) $\frac{8}{3}$, обратная $\frac{3}{8}$
• б) $\frac{16}{9}$, обратная $\frac{9}{16}$
• в) $\frac{5}{7}$