|2x-3|=3-2x решите уравнение

Решим уравнение $|2x - 3| = 3 - 2x$.

Первым шагом давайте рассмотрим, что такое абсолютная величина. Абсолютная величина выражения $|A|$ равна $A$, если $A \geq 0$, и $-A$, если $A < 0$.

Таким образом, нам нужно решить два случая, потому что абсолютная величина может быть положительной или отрицательной.

Шаг 1. Рассмотрим первый случай: $2x - 3 \geq 0$

В этом случае $|2x - 3| = 2x - 3$. Уравнение примет вид:

Решим это уравнение:

1. Переносим все $x$-термы на одну сторону, а числа — на другую:

что дает:

2. Разделим обе стороны на 4:

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное значение условию $2x - 3 \geq 0$:

Так как $0 \geq 0$, условие выполнено. Следовательно, $x = \frac{3}{2}$ — это решение.

Шаг 2. Рассмотрим второй случай: $2x - 3 < 0$

В этом случае $|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3$. Уравнение примет вид:

Решим это уравнение:

1. Переносим все термы с $x$ на одну сторону:

что дает:

Это тождество, и оно всегда верно, то есть уравнение имеет бесконечно много решений, но необходимо учитывать, что в данном случае $2x - 3 < 0$, то есть $x < \frac{3}{2}$.

Шаг 3. Итоговое решение

Собираем результаты:

1. В первом случае $x = \frac{3}{2}$ — решение удовлетворяет условию.

2. Во втором случае, поскольку у нас тождество $0 = 0$, решение зависит от того, что $x < \frac{3}{2}$. То есть, все значения $x < \frac{3}{2}$ также будут являться решениями.

Таким образом, полное решение: $x \in (-\infty, \frac{3}{2}]$.