Решите уравнение в целых числах \(x^3 + x^2 + x - 3 = 0\).

Рассмотрим уравнение $x^3 + x^2 + x - 3 = 0$ и попробуем найти его целые решения.

1. Пробуем подставить простые целые числа

Для начала подставим несколько целых значений для $x$, чтобы посмотреть, есть ли среди них корни.

• Подставим $x = 1$:

  $$1^3 + 1^2 + 1 - 3 = 1 + 1 + 1 - 3 = 0$$

  Это решение подходит! То есть $x = 1$ — корень уравнения.

Теперь, когда мы нашли один корень, можем попытаться разложить многочлен $x^3 + x^2 + x - 3$ на множители, используя этот корень.

2. Деление многочлена на $x - 1$

Мы знаем, что $x = 1$ — корень уравнения, значит, можно разделить $x^3 + x^2 + x - 3$ на $x - 1$ с остатком 0.

Для деления многочлена на линейный множитель используем метод деления многочлена столбиком или деление с остатком.

Разделим $x^3 + x^2 + x - 3$ на $x - 1$:

1. Первое деление: $x^3 : x = x^2$. Умножим $x^2$ на $x - 1$:

   $$x^2(x - 1) = x^3 - x^2$$

   Вычитаем $x^3 - x^2$ из исходного многочлена:

   $$(x^3 + x^2 + x - 3) - (x^3 - x^2) = 2x^2 + x - 3$$

2. Второе деление: $2x^2 : x = 2x$. Умножим $2x$ на $x - 1$:

   $$2x(x - 1) = 2x^2 - 2x$$

   Вычитаем $2x^2 - 2x$ из оставшегося многочлена:

   $$(2x^2 + x - 3) - (2x^2 - 2x) = 3x - 3$$

3. Третье деление: $3x : x = 3$. Умножим $3$ на $x - 1$:

   $$3(x - 1) = 3x - 3$$

   Вычитаем $3x - 3$ из оставшегося многочлена:

   $$(3x - 3) - (3x - 3) = 0$$

Таким образом, мы разложили многочлен на множители:

3. Решаем квадратное уравнение

Теперь нужно решить квадратное уравнение $x^2 + 2x + 3 = 0$. Для этого найдем дискриминант:

Дискриминант отрицателен, значит, корней в действительных числах нет.

4. Заключение

У нас есть только один целый корень $x = 1$. Квадратное уравнение не имеет действительных корней, поэтому других целых решений у данного уравнения нет.

Ответ: $x = 1$.