Решите уравнение: 3^(2x+1) - 3^(1-2x) + 8 = 0

Для того чтобы решить уравнение $3^{2x+1} - 3^{1-2x} + 8 = 0$, давайте разобьем его на несколько этапов.

Шаг 1: Преобразуем уравнение.

Начнем с того, что можно переписать первую и вторую степень, используя свойства степеней:

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

Шаг 2: Введение новой переменной.

Для упрощения введем новую переменную:

Тогда уравнение примет вид:

Шаг 3: Умножим обе части уравнения на $y$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $y$ (при этом $y \neq 0$):

Теперь у нас квадратичное уравнение:

Шаг 4: Решение квадратного уравнения.

Для решения квадратного уравнения $3y^2 + 8y - 3 = 0$ применим формулу для корней квадратного уравнения:

Здесь $a = 3$, $b = 8$, $c = -3$. Подставляем эти значения в формулу:

Вычислим дискриминант:

Теперь найдем два корня:

1. $y = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

2. $y = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

Шаг 5: Решение для $x$.

Напомним, что $y = 3^{2x}$. Теперь подставим найденные значения $y$ в это выражение.

• Для $y = \frac{1}{3}$ получаем:

Это можно записать как:

Значит, $2x = -1$, и откуда $x = -\frac{1}{2}$.

• Для $y = -3$ решение невозможное, потому что $3^{2x}$ всегда положительное, и не может быть равно отрицательному числу. Значит, этот корень отбрасываем.

Ответ:

Единственное решение уравнения $3^{2x+1} - 3^{1-2x} + 8 = 0$