Решите уравнение (х - 1)^4 - 2(х - 1)^2 - 3 = 0

Давайте решим уравнение $(x - 1)^4 - 2(x - 1)^2 - 3 = 0$.

1. Вводная замена переменной:

   Чтобы упростить уравнение, сделаем замену переменной. Пусть $y = (x - 1)^2$. Таким образом, $(x - 1)^4 = y^2$, и уравнение примет вид:

   $$y^2 - 2y - 3 = 0$$

2. Решаем квадратное уравнение:

   Теперь у нас есть стандартное квадратное уравнение $y^2 - 2y - 3 = 0$. Решим его с помощью дискриминанта:

   Дискриминант $D$ для уравнения $ay^2 + by + c = 0$ рассчитывается по формуле:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   Здесь $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$, поэтому:

   $$D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$$

   Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Используем формулу для нахождения корней:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 \pm 4}{2}$$

   Таким образом, два корня:

   $$y_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$$

3. Возвращаемся к $x$:

   Напоминаем, что $y = (x - 1)^2$, и теперь мы можем решить для $x$.

   • Для $y_1 = 3$ получаем:

     $$(x - 1)^2 = 3$$

     Из этого уравнения:

     $$x - 1 = \pm \sqrt{3}$$

     То есть, $x = 1 + \sqrt{3}$ или $x = 1 - \sqrt{3}$.

   • Для $y_2 = -1$ у нас получается:

     $$(x - 1)^2 = -1$$

     Однако квадрат любого числа не может быть отрицательным, значит, это уравнение не имеет решений.

4. Ответ:

   Таким образом, решениями исходного уравнения являются:

   $$x = 1 + \sqrt{3} \quad \text{и} \quad x = 1 - \sqrt{3}$$