Решить неравенство 3х - х² > 0

Решим неравенство $3x - x^2 > 0$.

1. Перепишем неравенство:

   $$3x - x^2 > 0$$

   Можно привести его к более удобному виду. Для этого перепишем его так:

   $$-x^2 + 3x > 0$$

   Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

   $$x^2 - 3x < 0$$

2. Решаем квадратное неравенство: Чтобы решить неравенство $x^2 - 3x < 0$, сначала найдём его корни. Для этого приравняем левую часть к нулю:

   $$x^2 - 3x = 0$$

   Вынесем общий множитель $x$:

   $$x(x - 3) = 0$$

   Корни этого уравнения:

   $$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3$$

3. Анализируем знак выражения: Рассмотрим промежутки, которые определяются этими корнями: $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, +\infty)$. Нужно проверить знак выражения $x(x - 3)$ на этих промежутках.

   • На промежутке $(-\infty, 0)$: выберем значение $x = -1$. Подставляем в выражение:

     $$(-1)((-1) - 3) = (-1)(-4) = 4 > 0$$

     Это положительное число, значит, на промежутке $(-\infty, 0)$ выражение положительное.

   • На промежутке $(0, 3)$: выберем значение $x = 1$. Подставляем в выражение:

     $$(1)((1) - 3) = (1)(-2) = -2 < 0$$

     Это отрицательное число, значит, на промежутке $(0, 3)$ выражение отрицательное.

   • На промежутке $(3, +\infty)$: выберем значение $x = 4$. Подставляем в выражение:

     $$(4)((4) - 3) = (4)(1) = 4 > 0$$

     Это положительное число, значит, на промежутке $(3, +\infty)$ выражение положительное.

4. Итак, на каком промежутке выполняется неравенство: Нам нужно, чтобы $x(x - 3) < 0$, то есть выражение должно быть отрицательным. Это происходит на промежутке $(0, 3)$.

5. Ответ: Решение неравенства $3x - x^2 > 0$ — это промежуток:

   $$0 < x < 3$$