Найти первообразные функции \( f(x) = \frac{x^3}{3} \).

Чтобы найти первообразные функции (или неопределённый интеграл) функции $f(x) = \frac{x^3}{3}$, нужно проинтегрировать её по переменной $x$:

Вынесем константу $\frac{1}{3}$ за знак интеграла:

Теперь интегрируем $x^3$. Напомним, что интеграл от $x^n$ равен $\frac{x^{n+1}}{n+1}$, если $n \ne -1$:

Подставим обратно:

Не забудем про произвольную константу интегрирования $C$, которая добавляется ко всем первообразным:

Ответ: Все первообразные функции для $f(x) = \frac{x^3}{3}$ имеют вид $F(x) = \frac{x^4}{12} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.